Question

已知函数f（x）=x2+ax+11x+1（a∈R），若对于任意的X∈N*，f（x）≥3恒成立，则a的取值范围是a≥-[8

Answer 1

解题思路：由于x∈N^*，可将f（x）=

x

2

+ax+11

x+1

≥3转化为a≥-[8/x]-x+3，再令g（x）=-[8/x]-x+3（x∈N^*），利用其单调性可求得g（x）_max，从而可得答案．

∵x∈N^*，

∴f（x）=

x2+ax+11

x+1≥3恒成立⇔x²+ax+11≥3x+3恒成立，

∴ax≥-x²-8+3x，又x∈N^*，

∴a≥-[8/x]-x+3恒成立，

∴a≥g（x）_max，

令g（x）=-[8/x]-x+3（x∈N^*），再令h（x）=x+[8/x]（x∈N^*），

∵h（x）=x+[8/x]在（0，2

2]上单调递减，在[2

2，+∞）上单调递增，而x∈N^*，

∴h（x）在x取距离2

2较近的整数值时达到最小，而距离2

2较近的整数为2和3，

∵h（2）=6，h（3）=[17/3]，h（2）＞h（3），

∴当x∈N^*时，h（x）_min=[17/3]．又g（x）=-[8/x]-x+3=-h（x）+3，

∴g（x）_max=-[17/3]+3=-[8/3]．

∴a≥-[8/3]．

点评：

本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查函数恒成立问题，依题意得到a≥-[8/x]-x+3是关键，考查转化思想，构造函数的思想，考查函数的单调性的应用，综合性强，思维度深，属于难题．