Question

已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，已知a3=11，S9=153，

Answer 1

解题思路：（1）设等差数列的公差为d，根据等差数列的通项与求和公式，结合题意建立关于a₁与d的方程组，解之得a₁=5且d=3，由此即可得到数列{a_n}的通项公式；

（2）根据对数的运算性质，可得b_n=

2

a

n

=2³ⁿ⁺²．由此算出b₁=32且

b

n+1

b

n

=8（常数），从而得到数列{b_n}的是首项为32，公比为8的等比数列，再用等比数列求和公式加以计算，即可得到{b_n}前n项和T_n的表达式．

（1）设等差数列的公差为d，

则

a3＝a1+2d＝11

S9＝9a1+

9×8

2d＝153，解之得

a1＝5

d＝3

∴数列{a_n}的通项公式a_n=5+3（n-1）=3n+2；

（2）∵a_n=log₂b_n=3n+2，∴b_n=2an=2³ⁿ⁺²

由此可得b₁=2⁵=32.

bn+1

bn=

23(n+1)+2

23n+2=8

∴数列{b_n}的是首项为32，公比为8的等比数列．

因此，可得{b_n}前n项和T_n=

32(1−8n)

1−8=[32/7]（8ⁿ-1）．

点评：

本题考点： 等比关系的确定；等差数列的前n项和．

考点点评： 本题给出等差数列的第3项和前9项之和，求它的通项公式并依此求等比数列{bn}前n项和．考查了等差、等比数列的通项公式和前n项和公式等知识点，属于中档题．