Question

设函数f（x）=ex．（I）求证：f（x）≥ex；（II）记曲线y=f（x）在点P（t，f（t））（其中t＜0）处的切线

Answer 1

解题思路：（I）设g（x）=e^x-ex，则g′（x）=e^x-e，由g′（x）=e^x-e=0，得x=1，利用导数性质能够证明f（x）≥ex．

（II）由f′（x）=e^x，知曲线y=f（x）在点P外切线为l：y-e^t=e^t（x-t），切线l与x轴的交点为（t-1，0），与y轴的交战为（0，e^t-te^t），由此入手能够推导出当t=-1时，S有最大值．

（I）证明：设g（x）=e^x-ex，∴g′（x）=e^x-e，

由g′（x）=e^x-e=0，得x=1，

∴在区间（-∞，1）上，g′（x）＜0，

函数g（x）在区间（-∞，1）上单调递减，

在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，

函数g（x）在区间（1，+∞）上单调递增，

g（x）≥g（1）=0，

∴f（x）≥ex．

（II）∵f′（x）=e^x，∴曲线y=f（x）在点P外切线为l：y-e^t=e^t（x-t），

切线l与x轴的交点为（t-1，0），与y轴的交战为（0，e^t-te^t），

∵t＜0，∴S=S（t）=[1/2(1−t)•(1−t)et=

1

2(1−2t+t2)et，

∴S′＝

1

2et(t2−1)，

在（-∞-1）上，S（t）单调增，在（-1，0）上，S（t）单调减，

∴当t=-1时，S有最大值，此时S=

2

e]．

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查不等式的证明，考查三角形面积最大值的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的性质和等价转化思想的合理运用．