Question

证明函数f（x）=x+4x在区间（0，2]上是减函数．

Answer 1

解题思路：利用函数单调性的定义，先设∀x₁、x₂，且0＜x₁＜x₂≤2，再利用作差法比较f（x₁）与f（x₂）的大小，从而证明函数的单调性

证明：设∀x₁、x₂，且0＜x₁＜x₂≤2，

f(x1)−f(x2)＝(x1+

4

x1)−(x2+

4

x2)=(x1−x2)+

4(x2−x1)

x1x2=(x1−x2)(1−

4

x1x2)，

∵0＜x₁≤2，0＜x₂≤2，x₁＜x₂，

∴0＜x₁x₂＜4，∴[1

x1x2＞

1/4]，∴

4

x1x2＞1，

∴1−

4

x1x2＜0，且x₁-x₂＜0

∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）

∴函数f（x）在（0，2]上为减函数．

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查了利用函数单调性定义证明函数单调性的方法，作差法比较大小的变形技巧