Question

已知函数 f(x)= 1 3 x 3 +m x 2 -3 m 2 +1 （m＞0）．

Answer 1

（Ⅰ）当m=1时，f（x）=

1

3 x ³+x ²-3x+1，f（2）=

8

3 +4-6+1=

5

3 ；

f′（x）=x ²+2x-3，f′（2）=4+4-3=5，

所以所求切线方程为y-

5

3 =5（x-2），即15x-3y-25=0；

（Ⅱ）对于f（x）=

1

3 x ³+mx ²-3m ²x+1，

f′（x）=x ²+2mx-3m ²，

令f′（x）=x ²+2mx-3m ²=0，解可得x=-3m或x=m；

由于m＞0，则m＞-3m，

若f′（x）=x ²+2mx-3m ²≥0，则x的范围是x≤-3m或x≥m；

所以函数f（x）的单调递增区间是（-∞，-3m]和[m，+∞），

要使f（x）在区间（2m-1，m+1）上单调递增，

应有m+1≤-3m或2m-1≥m，

解得m≤

1

4 或m≥1，①

对于区间（2m-1，m+1），有m+1＞2m-1，解可得m＜2，②

又由m＞0，③

综合三式可得1≤m＜2，

即实数m的取值范围{m|1≤m＜2}．