Question

已知关于x的一元二次方程ax∧2+bx+c=0的两根为α、β,且两个关于x的方程x∧2+(α+1)x+β∧2＝0与x∧2

Answer 1

由二次方程根与系数的关系可得 α+β= -b/a,αβ=c/a ,

两个方程 x^2+(α+1)x+β^2=0 与 x^2+(β+1)x+α^2=0 相减,

可得 (α-β)x=(α-β)(α+β) ,

明显地,α ≠ β （因为如果相等,那两个方程完全相同,它们的公共根就不是一个而是两个）,

因此可得两个方程的唯一公共根为 x=α+β ,

代回方程得 (α+β)^2+(α+1)(α+β)+β^2=0 ,

化简得 2(α+β)^2+(α+β)-αβ=0 ,

即 2*(-b/a)^2-b/a-c/a=0 ,

化简得 2b^2-ab-ac=0 .