已知函数f(x)=log3mx2+8x+nx2+1的定义域为R,值域为[0,2],求m.n的值.

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  • 解题思路:令y=

    mx

    2

    +8x+n

    x

    2

    +1

    ,则 1≤y≤9,且(y-m)•x2-8x+y-n=0 成立,故判别式△≥0,即 y2-(m+n)y+mn-16

    ≤0.再根据 y=1和y=9是方程 y2-(m+n)y+mn-16=0的两个根,求出m、n的值.

    由于f(x)=log3

    mx2+8x+n

    x2+1的定义域为R,∵x2+1>0,故mx2+8x+n>0恒成立.

    令y=

    mx2+8x+n

    x2+1,由于函数f(x)的值域为[0,2],则 1≤y≤9,且(y-m)•x2-8x+y-n=0 成立.

    由于x∈R,①若y-m≠0,∴方程的判别式△=64-4(y-m)(y-n)≥0,即 y2-(m+n)y+mn-16≤0.

    ∴y=1和y=9是方程 y2-(m+n)y+mn-16=0的两个根,

    ∴m+n=10,mn-16=9,解得m=n=5.

    ②若y-m=0,即y=m=n=5 时,对应的x=0,符合条件.

    综上可得,m=n=5.

    点评:

    本题考点: 对数函数的定义域;对数函数的值域与最值.

    考点点评: 本题考查指数式与对数式的互化,一元二次方程根与系数的关系,属于中档题.