Question

对于函数f（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意x∈R，不等式f（x）≥kx+m≥g（x）都成立，则称直线

Answer 1

解题思路：（Ⅰ）f′（x）=e^x（ax+1+a），当a＞0时，f′（x）＞0⇔函数f（x）在区间（-1-[1/a]，+∞）上是增函数，在区间（-∞，-1-[1/a]）上是减函数；a=0时，f′（x）＞0，函数f（x）是区间（-∞，+∞）上的增函数；当a＜0时，f′（x）＞0⇔ax＞-a-1，函数f（x）在区间（-∞，-1-[1/a]）上是增函数，在区间（-1-[1/a]，+∞）上是减函数．

（Ⅱ）若存在，则e^x（x+1）≥kx+m≥-x²+2x+1恒成立，令x=0，得m=1，因此x²+（k-2）x≥0恒成立，由此及彼能推导出函数f（x）与函数g（x）=-x²+2x+1存在“分界线”．

（Ⅰ）f′（x）=e^x（ax+1+a），（2分）

当a＞0时，f′（x）＞0⇔ax＞-a-1，即x＞-1-[1/a]，

函数f（x）在区间（-1-[1/a]，+∞）上是增函数，

在区间（-∞，-1-[1/a]）上是减函数；（3分）

当a=0时，f′（x）＞0，函数f（x）是区间（-∞，+∞）上的增函数；（5分）

当a＜0时，f′（x）＞0⇔ax＞-a-1，即x＜-1-[1/a]，

函数f（x）在区间（-∞，-1-[1/a]）上是增函数，在区间（-1-[1/a]，+∞）上是减函数．（7分）

（Ⅱ）若存在，则e^x（x+1）≥kx+m≥-x²+2x+1恒成立，

令x=0，则1≥m≥1，

所以m=1，（9分）

因此：kx+1≥-x²+2x+1恒成立，即x²+（k-2）x≥0恒成立，

由△≤0得到：k=2，

现在只要判断e^x（x+1）≥2x+1是否恒成立，（11分）

设∅（x）=e^x（x+1）-（2x+1），

因为：∅′（x）=e^x（x+2）-2，

当x＞0时，e^x＞1，x+2＞2，∅′（x）＞0，

当x＜0时，e^x（x+2）＜2e^x＜2，∅′（x）＜0，

所以∅（x）≥∅（0）=0，即e^x（x+1）≥2x+1恒成立，

所以函数f（x）与函数g（x）=-x²+2x+1存在“分界线”．

方程为y=2x+1．（14分）

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查导数函数单调性中的应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地运用导数的性质进行求解．