Question

利用数项级数∑1/n^2=π^2/6 计算积分∫ln(1+x)/x dx

Answer 1

考虑幂级数f(x)=∑x^(n)/n^2=x+x^2/4+x^3/9+.

求导得：f'(x)=1+x/2+x^2/3+x^3/4+.

g(x)=xf'(x)=x+x^2/2+x^3/3+x^4/4+.

g'(x)=xf'(x)=1+x+x^2+x^3+.=1/(1-x)

g(x)=-ln(1-x) f'(x)=-ln(1-x)/x,两边从0到x积分得：

f(x)-f(0)=-∫(0,x)ln(1-x)/xdx

f(x)=-∫(0,x)ln(1-x)/xdx=-∫(0,-x)ln(1+x)/xdx

是我错?还是题目有问题?等下来看看