y=1+sinπx y={1,x为有理数} 0,x为无理数 y=x-【x】 求周期,详解,

1个回答

  • y=1+sin πx 的最小正周期是

    T=2π /π =2.

    = = = = = = = = =

    设 f(x)=1,x为有理数,

    =0,x为无理数.

    i)设 p为任意有理数.

    a)当x为有理数时,x+p为有理数.

    所以 f(x+p)=1=f(x),

    b)当 x为无理数时,x+p为无理数.

    所以 f(x+p)=0=f(x).

    综上,p是f(x)的周期.

    ii)设 q为任意无理数.

    当x为有理数时,x+q为无理数.

    所以 f(x)=1,f(x+q)=0,

    所以 f(x+q)不等于f(x),

    即 q不是f(x)的周期.

    综上,由p,q的任意性知,

    f(x)的周期是任意有理数,无最小正周期.

    = = = = = = = = =

    (3) 设 f(x)=x-[x].

    i) 因为 f(x+1)=(x+1)-[x+1]

    =x+1-([x]+1)

    =x-[x]

    =f(x).

    所以 1是f(x)的周期.

    ii) 任取p属于(0,1),则

    1-p属于(0,1).

    所以 f(1-p)=(1-p)-[1-p]

    =1-p-0

    =1-p.

    而 f(1-p+p)=f(1)

    =1-[1]

    =1-1

    =0,

    所以 f(1-p+p)不等于f(1-p).

    所以 p不是f(x)的周期.

    综上,f(x)的最小正周期为1.