Question

已知函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0),且对任意的x∈【-1,1】,f(x)的绝对值≤1,证明:对任的x∈【-1

Answer 1

由函数f(x)=ax^2+bx+c(a≠0),且对任意的x∈【-1,1】,f(x)的绝对值≤1,有：

|f(1)| ≤1,|f(-1)|≤1 ,| f(0)|≤1,即

|a+b+c|≤1 |a-b+c|≤1 |c|≤1

1≥|a+b+c|≥|a+b|-|c| ,|a+b|≤1+|c|≤1+1=2,即 ：|a+b|≤2

-2≤a+b≤2 .①

同理 |a-b|≤2,

-2≤a-b≤2 .②

(3/2)×①+(1/2)×②

-4≤2a+b≤4

(1/2)×①+(3/2)×②

-4≤2a-b≤4

-4≤-2a+b≤4

令g(x)=2ax+b,x∈[-1,1],则g(x)是一个单调函数,a>0时,是增函数,a0时,g(1) 为最大值2a+b,g(-1)为最小值-2a+b,即 -2a+b≤g(x)≤2a+b

-4≤-2a+b≤g(x)≤2a+b≤4

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