Question

如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．试证明：无论正

Answer 1

解题思路：分两种情况探讨：（1）当正方形A₁B₁C₁O边与正方形ABCD的对角线重合时；（2）当转到一般位置时，由题求证△AEO≌△BOF，故两个正方形重叠部分的面积等于三角形ABO的面积，得出结论．

（1）当正方形绕点OA₁B₁C₁O绕点O转动到其边OA₁，OC₁分别于正方形ABCD的两条对角线重合这一特殊位置时，

显然S_{两个正方形重叠部分}=[1/4]S_{正方形ABCD}；

（2）当正方形绕点OA₁B₁C₁O绕点O转动到如图位置时．

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠OAB=∠OBF=45°，OA=OB

BO⊥AC，即∠AOE+∠EOB=90°，

又∵四边形A′B′C′O为正方形，

∴∠A′OC′=90°，即∠BOF+∠EOB=90°，

∴∠AOE=∠BOF，

在△AOE和△BOF中，

∠AOE＝∠BOF

AO＝BO

∠OAE＝∠OBF，

∴△AOE≌△BOF（ASA），

∵S_{两个正方形重叠部分}=S_△BOE+S_△BOF，

又S_△AOE=S_△BOF

∴S_{两个正方形重叠部分}=S_ABO=[1/4]S_{正方形ABCD}．

综上所知，无论正方形A₁B₁C₁O绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的[1/4]．

点评：

本题考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评： 此题考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积等知识点．