正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BC、C1D1的中点.求证:

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  • 解题思路:(1)欲证平面D1AC⊥平面B1D1BD,只需证明平面D1AC经过平面B1D1BD的一条垂线即可,根据正方体的性质,易证平面D1AC中的直线AC垂直平面B1D1BD.

    (2)欲证直线EF∥平面D1AC,只需证明直线EF平行于平面D1AC上一条直线即可,根据E,F分别为BC、C1D1的中点,可证明四边形D1FEO为平行四边形,从而得到EF平行于平面D1AC中的直线D1O.则直线EF∥平面D1AC.

    (1)∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1B⊥平面ABCD,∴B1B⊥AC

    又∵AC⊥BD,BD∩B1B=O,∴AC⊥平面平面B1D1BD,

    ∴平面D1AC⊥平面B1D1BD

    (2)连接OE,D1O,∵O,E分别为BC,BD中点,∴OE∥[1/2]BC,

    ∵DC∥D1C,F为D1C的中点,∴D1F∥[1/2]BC,

    ∴OE∥D1F,且OE=D1F,

    ∴四边形D1FEO为平行四边形,

    ∴EF∥D1O,又∵D1O⊂平面D1AC,

    ∴直线EF∥平面D1AC.

    点评:

    本题考点: 直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定.

    考点点评: 本题主要考查了正方体中面面垂直,线面垂直的证明,综合考查了学生的空间想象力,识图能力,以及计算能力.