Question

好难的不等式啊对于任意正实数x,y,z均有不等式:x/√(y+z)+y/√(x+z)+z/√(x+y)>=k√(x+y+

Answer 1

x/√(y+z)+y/√(z+x)+z/√(x+y)>=k√(x+y+z).(1)

解 先猜测:在(1)中,取x=y=z=1,则可得k=√[3/2)(x+y+z)].(2)

事实上,由权方和不等式,得

x/√(y+z)+y/√(z+x)+z/√(x+y)

=x^(3/2)/√(xy+zx)+y^(3/2)/√(yz+xy)+z^(3/2)/√(zx+yz)

>=(x+y+z)^(3/2)√[2(xy+yz+zx)]

>=(x+y+z)^(3/2)√[(2/3)(x+y+z)^2]

=√[3/2)(x+y+z)],

所以,不等式(2)成立.

因此,k的最大值是√(3/2).