已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(a+1)x+1]

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  • 解题思路:(1)因为f(x)的定义域为R,所以对数的真数一定大于0恒成立,讨论二次项系数为0不成立,系数不为0时,得到系数大于0且根的判别式小于0求出a的范围即可;

    (2)因为函数值域为R,讨论二次项系数为0时,不成立,系数不为0时,让系数大于0且根的判别式大于等于0求出a的范围即可.

    (1)f(x)的定义域为R∴(a2-1)x2+(a+1)x+1>0恒成立

    当a2-1=0时,得a=-1,a=1不成立

    当a2-1≠0时,

    a2−1>0

    △=(a+1)2−4(a2−1)<0解得a>

    5

    3或a<-1

    综上得a>

    5

    3或a≤-1

    (2)当a2-1=0时,得a=1,a=-1不成立

    当a2-1≠0时,

    a2−1>0

    △=(a+1)2−4(a2−1)≥0解得1<a≤

    5

    3

    综上得1≤a≤

    5

    3

    点评:

    本题考点: 对数函数的定义域;函数恒成立问题.

    考点点评: 考查学生理解对数函数定义域和值域的能力,以及理解函数恒成立条件的能力.