急需解答的高中数学题,谢谢了关于x的方程(x^2-1)^2-|x^2-1|+k=0,怎么证明存在实数k,可令方程有各种不
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  • 令α=x^2-1,β=|α|则β≥0(PS:这一部是解决这类有绝对值的方程高次方程常用的步骤,可以使问题简化变得更直观)

    方程可变为:β^2-β+k=0…①,根的判别式Δ=1-4k

    1^Δ=1-4k>0时,①中β有两个不同实根,

    设①的两根β1,β2满足β1<β2

    当0<β1<β2时,β1=(1-√Δ)/2>0,k∈(0,1/4],此时α可以有4中不同取值±β1,±β2,从而x可以有8个取值,即方程有8个实根;

    当β1=(1-√Δ)/2=0时,k=0,此时α有3种不同取值0,±β2,从而x这时最多可以有5个不同取值,即方程有5个实根;

    2^Δ=1-4k=0时,β1=β2,此时α最多可有两种不同取值±β1,从而x这时最多可取4个不同值,即方程有4个实根;

    特殊地当β1=β2=0,Δ=1-4k=0,k=1/4,此时α=0,x=±,即方程恰有2个实根;

    3^Δ=1-4k<0时,①无实根.