Question

在数列{an}中,a1=1,an+1=（1+1/n）an+（n+1）∕2n 设bn=an/n,求证bn+1-bn=1/2

Answer 1

an+1=（1+1/n）an+（n+1）∕2^n

两边同除以（n+1）得：a(n+1)/(n+1) =an/n+ 1/2^n

a(n+1)/(n+1)-an/n=1/2^n

因为bn=an/n,代入上式,

所以有bn+1-bn=1/2^n

因为a(n+1)/(n+1)-an/n=1/2^n

所以an/n-a(n-1)/(n-1)=1/2^(n-1)

…………

a3/3-a2/2=1/2^2

a2/2-a1/1=1/2

等式两边累加可得：

an/n-a1/1=1/2+.+1/2^(n-1)

所以bn=an/n=a1/1+1/2+.+1/2^(n-1)=2-1/2^(n-1)(等比数列求和).