Question

已知点B1（1，y1），B2（2，y2），…，Bn（n，yn）（n∈N*）在直线y＝12x+1上，点A1（x1，0），A

Answer 1

解题思路：（1）由于点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…B_n（n，y_n）（n∈N^*）在直线

y＝

1

2

x+1

上，可得

y

n

＝

1

2

n+1

，从而可得

y

n+1

−

y

n

＝

1

2

，从而可证

（2）已知由

x

n

+

x

n+1

2

＝n

可得x_n+x_n+1=2n，x_n+1+x_n+2=2（n+1），两式相减，得x_n+2-x_n=2，则可得奇数项和偶数项分别成等数列，由等差数列的通项公式可求x_2n-1，x_2n，进而可得|A_2n-1A_2n|=2（1-a），|A_2nA_2n+1|=2a，

y

n

＝

1

2

n+1

，代入三角形的面积公式可求

（1）由于点B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…B_n（n，y_n）（n∈N^*）在直线y＝

1

2x+1上，

则 yn＝

1

2n+1（2分）

因此yn+1−yn＝

1

2，

∴数列{y_n}是等差数列（4分）

（2）已知由

xn+xn+1

2＝n

那么x_n+x_n+1=2n（5分）

x_n+1+x_n+2=2（n+1），

以上两式相减，得x_n+2-x_n=2（6分）

∴x₁，x₃，x₅，…，x_2n-1，…成等差数列，x₂，x₄ ，x₆，…，x_2n，…也成等数列，

∴x_2n-1=x₁+2（n-1）=2n+a-2（7分）

∴x_2n=x₂+2（n+1）=（2-a）+2（n-1）=2n-a（9分）

∴点A_2n-1（2n+a-2，0）A_2n（2n-a，0），

则|A_2n-1A_2n|=2（1-a），|A_2nA_2n+1|=2a，yn＝

1

2n+1

∴S_2n-1=[1/2×2(1−a)×y2n−1=（1-a）×y_2n-1=

(2n+1)(1−a)

2] （12分）

点评：

本题考点： 数列的求和；等差关系的确定．

考点点评： 本题主要考查了等差数列的定义的应用，数列的递推公式的应用及三角形的面积公式的应用，属于知识的综合应用．