联合密度可写为：f(x,y)=2,0≤x≤1,x≤y≤1,f(x,y)=0,其他
a)P(Y-X>10/60)=∫(0≤x≤1)∫(x+1/6≤y≤1)f(x,y)dxdy=∫(0≤x≤1)(5/6-x)dx=5/6-1/2=1/3
b)边缘概率密度函数f(x)=∫(x≤y≤1)f(x,y)dy=2(1-x) (0≤x≤1),f(x)=0 (其他),
做积分∫(0≤x≤1)f(x)dx=(2-1²)-(0-0)=1,说明函数f(x)确实为概率密度函数
f(y)=∫(0≤x≤y)f(x,y)dx=2y(0≤y≤1),f(y)=0 (其他),
做积分∫(0≤y≤1)f(y)dy=1²-0=1,说明函数f(y)确实为概率密度函数
c)E(X)=∫(0≤x≤1)xf(x)dx=∫(0≤x≤1)2x(1-x)dx=(1-2/3)-(0-0)=1/3
E(Y)=∫(0≤y≤1)yf(y)dy=∫(0≤y≤1)2y²dy=2/3
d)E(X²)=∫(0≤x≤1)x²f(x)dx=∫(0≤x≤1)2x²(1-x)dx = (2/3-1/2) - (0-0) = 1/6
V(X)=E(X²)-E²(X) = 1/6 - 1/9 = 1/18
E(Y²)=∫(0≤y≤1)y²f(y)dy=∫(0≤y≤1)2y³dy = 1/2
V(Y)=E(Y²)-E²(Y) = 1/2 - 4/9 = 1/18
e)条件概率密度函数f(x|y) = f(x,y)/f(y) = 1/y (0≤x≤y),f(x|y) = 0(其他),
∫(0≤x≤y) 1/y dx = 1,即f(x|y)是概率密度函数
f)条件概率密度函数 f(y|x) = f(x,y)/f(x) = 1/(1-x) (x≤y≤1),f(y|x) = 0(其他),
∫(x≤y≤1)1/(1-x)dy = 1/(1-x) - x/(1-x) = 1,即f(y|x)是概率密度函数