Question

（2012•宁德模拟）已知函数f（x）=2x+k•2-x，k∈R．

Answer 1

解题思路：（1）利用函数f（x）=2^x+k•2^-x为奇函数，建立等式，即可求实数k的值；

（2）对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，即2^x+k•2^-x＞2^-x成立，即1-k＜2^2x对任意的x∈[0，+∞）成立，从而可求实数k的取值范围．

（1）∵函数f（x）=2^x+k•2^-x为奇函数，∴f（-x）=-f（x）

∴2^-x+k•2^x=-（2^x+k•2^-x）

∴（1+k）+（k+1）2^2x=0恒成立

∴k=-1

（2）∵对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）＞2^-x成立，

∴2^x+k•2^-x＞2^-x成立

∴1-k＜2^2x对任意的x∈[0，+∞）成立

∵y=2^2x在[0，+∞）上单调递增

∴函数的最小值为1

∴1-k＜1

∴k＞0

点评：

本题考点： 函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．

考点点评： 本题考查函数的奇偶性，考查恒成立问题，解题的关键是利用奇偶性的定义，利用分离参数法求解恒成立问题．