如图,在三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=5,PB=4,PC=3.设点M为底面ABC内一点,定义f(

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  • 解题思路:先根据三棱锥的特点求出其体积,然后利用新定义通过体积,推出建立x与y的关系,进而将恒成立问题转化成最值问题后,解之即可.

    ∵PA、PB、PC两两垂直,且PA=5,PB=4,PC=3.

    ∴VP-ABC=[1/3]×[1/2]×3×4×5=10=4+3x+3y

    即x+y=2,且x,y为正数

    若ax-8xy+y≥0恒成立,

    则2([1/x]+[a/y])≥16恒成立

    又∵([1/x]+[a/y])(x+y)=1+a+[y/x]+[ax/y]≥1+a+2

    a

    ∴1+a+2

    a≥16

    a≥3或

    a≤-5(舍去)

    即a≥9

    则正实数a的取值范围是[9,+∞)

    故答案为:[9,+∞)

    点评:

    本题考点: 基本不等式在最值问题中的应用;棱柱、棱锥、棱台的体积.

    考点点评: 本题主要考查了棱锥的体积,同时考查了基本不等式的运用,是题意新颖的一道题目,属于中档题.