Question

已知i函数f(x)=x^3+ax^2+bx+c,过曲线y=f(x)上的点P(1,f(1))的切线方程为为y=3x+1

Answer 1

（I）由f（x）=x3+ax2+bx+c,得f'（x）=3x2+2ax+b

由题知f′(1)=33×1+1=f(1)f′(-2)=0​⇒

2a+b+3=34=1+a+b+c12-4a+b=0​⇒

a=2b=-4c=5​

所以f（x）=x3+2x2-4x+5

（II）f'（x）=3x2+2ax+b=3x2+4x-4=（3x-2）（x+2）,则x、f'（x）、f（x）的关系如下表．

x-3（-3,-2）-2(-2,

23)23(

23,1)1f'（x）​+0-0+​f（x）8↑极大↓极小↑4∵f（x）极大=f（-2）=13,f（-3）=8,f（1）=4

∴f（x）在[-3,1]的最大值为13

（III）由题意知,f′（x）≤≤0在[-1,0]上恒成立,

由（I）知即f'（x）=3x2+-bx+b=3x2+b≤0在[-1,0]上恒成立,

利用二次函数的性质,有f′(-1)=2b+3≤0f′(0)=b≤0​,

从而得b≤-

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