Question

已知函数f（x）=[2a+1/a]-[1a2x，常数a＞0．

Answer 1

解题思路：（1）先在m，n]上任取两变量x₁，x₂，且界定大小，再作差f（x₁）-f（x₂）变形看符号；

（2）因为f（x）在[m，n]上单调递增，f（x）的定义域、值域都是[m，n]⇔f（m）=m，f（n）=n，得出m，n是方程

2a+1

a

−

1

a

2

x

＝x

的两个不等的正根⇔a²x²-（2a²+a）x+1=0有两个不等的正根．利用根的判断式求得a的范围，最后利用二次函数的性质求出n-m的最大值即可．

（1）任取x₁，x₂∈[m，n]，且x₁＜x₂，f(x1)−f(x2)＝

1

a2•

x1−x2

x1x2，

因为x₁＜x₂，x₁，x₂∈[m，n]，所以x₁x₂＞0，即f（x₁）＜f（x₂），故f（x）在[m，n]上单调递增．

（2）因为f（x）在[m，n]上单调递增，f（x）的定义域、值域都是[m，n]⇔f（m）=m，f（n）=n，

即m，n是方程

2a+1/a−

1

a2x＝x的两个不等的正根⇔a²x²-（2a²+a）x+1=0有两个不等的正根．

所以△=（2a²+a）²-4a²＞0，因为a＞0，所以a＞

1

2]．

∴n−m＝

1

a

4 a2+4 a−3 ＝

−3 (

1

a−

2

3 )2+

16

3，a∈(

1

2 ， +∞ )，

∴a＝

3

2时，n-m取最大值

4

3

3．

点评：

本题考点： 函数单调性的判断与证明；函数的值域；一元二次方程的根的分布与系数的关系．

考点点评： 本题主要考查用单调性定义证明函数的单调性，函数的值域等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．