是否存在实数a,使函数f(x)=loga(ax2-x)在区间[2,4]上是增函数?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说

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  • 解题思路:设u(x)=ax2-x,显然二次函数u的对称轴为x=[1/2a].分当a>1时和当0<a<1 两种情况,分别利用二次

    函数的性质、复合函数的单调性、以及对数函数的定义域,求得a的范围,综合可得结论.

    设u(x)=ax2-x,显然二次函数u的对称轴为x=[1/2a].

    ①当a>1时,要使函数f(x)在[2,4]上为增函数,则u(x)=ax2-x 在[2,4]上为增函数,

    故应有

    1

    2a≤2

    u(2)=4a−2>0,解得 a>[1/2].…(6分)

    综合可得,a>1.…(7分)

    ②当0<a<1 时,要使函数f(x)在[2,4]上为增函数,则u(x)=ax2-x 在[2,4]上为减函数,

    应有

    1

    2a≥4

    u(4)=16a−4>0,解得a∈∅.…(14分)

    综上,a>1时,函数f(x)=loga(ax2-x)在区间[2,4]上为增函数.…(16分)

    点评:

    本题考点: 复合函数的单调性.

    考点点评: 本题主要考查复合函数的单调性,体现了分了讨论、转化的数学思想,属于中档题.