Question

设α1,α2,α3是齐次方程组AX=0的基础解系,则AX=0还有其他基础解系吗?如果有,请给出例子证明.

Answer 1

α1,α1+α2,α2+α3也是Ax=0的基础解系.

证明: (α1,α1+α2,α2+α3)=(α1,α2,α3)P

P =

1 1 0

0 1 1

0 0 1

因为 |P|=1≠0, 所以P可逆.

所以 α1,α2,α3 与 α1,α1+α2,α2+α3 等价.

所以 r(α1,α1+α2,α2+α3) = r(α1,α2,α3) = 3.

且 Ax=0 的解可由 α1,α1+α2,α2+α3 线性表示.

故 α1,α1+α2,α2+α3 是Ax=0 的基础解系.