一个简单的三角函数问题我们知道sin2A=2sinAcosA 以及余弦正切的两倍角公式.那么除了两倍角,别的倍角有没有公

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  • 有,都有Sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2SinACosA

    cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=CosA^2-SinA^2

    tan2A=tan(A+A)=(tanA+tanA)/(1-tanA*tanA)=2tanA/(1-tanA^2)

    根据三角函数的诱导公式的两角和差公式

    三倍角公式的证明

    思路:三部曲:先3x分解成2x+x,用和角公式展开;再用倍角公式统一成单角x;最后化简成一种函数,便于记忆和使用.

    ●三倍角的正弦公式

    sin3x=3sinx-4sin^3 x

    证明:

    sin3x

    =sin(2x+x) (分解成2x+x)

    =sin2xcosx+cos2xsinx(和角正弦公式展开)

    =2sinxcosxcosx+(1-2sin^2 x)sinx(用倍角余弦公式统一成单角x)

    =2sinx(1-sin^2 x)+ (1-2sin^2 x)sinx(化简成一种函数)

    =3sinx-4sin^3 x

    ●三倍角的余弦公式

    cos3x=4cos^3x-3cos x

    证明:

    cos3x

    =cos(2x+x) (分解成2x+x)

    =cos2xcosx-sin2xsinx(和角余弦公式展开)

    =(2cos^2 x-1)cosx-2sinxcosxsinx(用倍角余弦公式统一成单角x)

    =(2cos^2 x-1)cosx-2cosx(1-cos^2 x)(化简成一种函数)

    =4cos^3 x-3cosx

    ●三倍角的正切公式

    tan3x=(3t-t^3)/(1-3t^2), 其中t=tanx.

    证明:

    令t= tanx, tan2x=2t/(1-t^2)

    tan3x=tan(2x+x) (分解成2x+x)

    =(tan2x+tanx)/(1-tan2x tanx) (和角正切公式展开)

    =[2t/(1-t^2)+t]/[1-2t/(1-t^2)•t] (用倍角正切公式统一成单角x)

    =(3t-t^3)/(1-3t^2), 其中t=tanx.(化简)

    应用举例

    求证:tan3x=tan(60+x)tan(60-x)tanx

    证明:令t= tanx

    tan(60+x)=(√3+t)/(1-√3t)

    tan(60-x) =(√3-t)/(1+√3t)

    tan(60+x)tan(60-x)tanx

    =(3-t^2)t/(1-3t^2)

    =tan3x(三倍角正切公式)