Question

己知定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（4-x），且当x≠2时，其导函数f′（x）满足f′（x）＞[1/2]x

Answer 1

解题思路：根据条件得到函数关于x=2对称，由f′（x）＞[1/2]xf′（x），得到函数的单调性，利用函数的单调性和对称轴即可得到结论．

∵定义在R上的函数y=f（x）满足f（x）=f（4-x），

∴函数f（x）关于x=2对称，

由f′（x）＞[1/2]xf′（x），

得（x-2）f′（x）＜0，

则x＞2时，f′（x）＜0，此时函数单调递减，

当x＜2时，f′（x）＞0，此时函数单调递增．

∴当x=2时，f（x）取得极大值，同时也是最大值．

若a∈（2，3），

则4＜2^a＜8，1＜log₂a＜2，

∴2＜4-log₂a＜3，

∴2＜4-log₂a＜2^a，

即f（2）＞f（4-log₂a）＞f（2^a），

即f（2^a）＜f（log₂a）＜f（2），

故选：C

点评：

本题考点： 函数的单调性与导数的关系．

考点点评： 本题主要考查函数单调性和对称性的应用，利用导数和函数单调性的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．