这是一组极坐标方程.r=3cosθ是以(1.5,0)为圆心,3为直径的圆；r=1+cosθ是帕斯卡蜗线的一种；r=√2sinθ是以(0,√2/2)为圆心,√2为直径的圆；r^2=cos2θ是双纽线的一种.
①为了计算“r=3cosθ与r=1+cosθ围成图形的公共部分面积”可先计算它们的交点：令3cosθ=1+cosθ,解得θ1=-π/3,θ2=π/3,在(-π/3,π/3)范围内显然3cosθ>1+cosθ,于是可得被积函数f=3cosθ-(1+cosθ)=2cosθ-1,(-π/3,π/3)实际上也是积分区间,由此得面积
S=(-π/3→π/3)∫(2cosθ-1)dθ
这积分请你自己计算.
②为了计算“r=√2sinθ与r^2=cos2θ的公共部分面积”,注意到两条曲线都关于y轴对称,而前者完全位于上半平面,故只需计算第一象限部分,再2倍即可.
由 (√2sinθ)²=cos2θ 解得 θ=π/6
而r^2=cos2θ=0 可得 θ=π/4,所以所围图形位于区间（π/6,π/4）内
S=2(π/6→π/4)∫|√2sinθ-√cos2θ|dθ
请注意该积分中有绝对值符号.