Question

四边形ABCD中,AB=CD=AD,∠ABC=60°,P为四边形ABCD内一点,且∠APD=120° 求证：PA+PD+

Answer 1

证明：在四边形ABCD外侧作等边三角形AB′D,

延长AP到点E,使PE=PD,连接DE,

∵PE=PD,∠DPE=60°,

∴△PDE为等边三角形,

∵DB′=AD,DP=ED,∠B′DP=∠ADE,

∴△ADE≌△B′PD（SAS）,

∴B'P=AP+PD,

易知B'C≤PB'+PC,得B'C≤PA+PD+PC．

∵△AB'D是等边三角形,

∴AB'=AD,∠B'AD=60°,

又易知△ABC是等边三角形,

故AC=AB,∠BAC=60°,

∴△AB'C≌△ADB,∴B'C=DB,

∴PA+PD+PC≥BD,得证．