解题思路：（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．
（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表达式，然后将函数y2的表达式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．
（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x-h）2+k，
当a=2，h=3，k=4时，
二次函数的关系式为y=2（x-3）2+4．
∵2＞0，
∴该二次函数图象的开口向上．
当a=3，h=3，k=4时，
二次函数的关系式为y=3（x-3）2+4．
∵3＞0，
∴该二次函数图象的开口向上．
∵两个函数y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4顶点相同，开口都向上，
∴两个函数y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4是“同簇二次函数”．
∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x-3）2+4与y=3（x-3）2+4．
（2）∵y1的图象经过点A（1，1），
∴2×12-4×m×1+2m2+1=1．
整理得：m2-2m+1=0．
解得：m1=m2=1．
∴y1=2x2-4x+3
=2（x-1）2+1．
∴y1+y2=2x2-4x+3+ax2+bx+5
=（a+2）x2+（b-4）x+8
∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，
∴y1+y2=（a+2）（x-1）2+1
=（a+2）x2-2（a+2）x+（a+2）+1．
其中a+2＞0，即a＞-2．
∴
b−4＝−2(a+2)
8＝(a+2)+1．
解得：
a＝5
b＝−10．
∴函数y2的表达式为：y2=5x2-10x+5．
∴y2=5x2-10x+5
=5（x-1）2．
∴函数y2的图象的对称轴为x=1．
∵5＞0，
∴函数y2的图象开口向上．
①当0≤x≤1时，
∵函数y2的图象开口向上，
∴y2随x的增大而减小．
∴当x=0时，y2取最大值，
最大值为5（0-1）2=5．
②当1＜x≤3时，
∵函数y2的图象开口向上，
∴y2随x的增大而增大．
∴当x=3时，y2取最大值，
最大值为5（3-1）2=20．
综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．
点评：
本题考点： 二次函数的性质；二次函数的最值．
考点点评： 本题考查了求二次函数表达式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．