解题思路：（1）由
y＝ln(x+1)−
1
2
x(x＞−1)
，知
y
/
＝
1
x+1
−
1
2
＝0⇒x＝1
，由此能求出函数y=f（x）-g（x）的极值．（2）
f(x)＞
x+t
x+2
⇒t＜(x+2)ln(x+1)−x
，令h（x）=（x+2）ln（x+1）-x（x≥1），则
h
/
(x)＝
x+2
x+1
+ln(x+1)−1＝
1
x+1
+ln(x+1)＞0
，由此能求出t的值．
（3）当x＞1时，由（1）知
ln(1+x)＜
1
2
x+ln2−
1
2
，由（2）知
ln(1+x)＞
x+1
x+2
，因为
f(2
k
3
)−3f(k−1)＝ln(1+
k
3
+1
k
3
)
，所以
ln(1+
k
3
+1
k
3
)＜
1
2
k
3
+ln2＜ln2+
1
2
[
1
k(k−1)(k+1)
]
，由此能够证明：
2
3
n＜
n
k＝1
[f(2
k
3
)−3f(k−1)]＜nln2+
5
8
．
证明：（1）∵y＝ln(x+1)−
1
2x(x＞−1)，
∴y/＝
1
x+1−
1
2＝0⇒x＝1，
且当-1＜x＜1时，y′＞0，当x＞1时，y′＜0
所以，当x＝1时，y极大值＝ln2−
1
2
（2）f(x)＞
x+t
x+2⇒t＜(x+2)ln(x+1)−x，
令h（x）=（x+2）ln（x+1）-x（x≥1），
则h/(x)＝
x+2
x+1+ln(x+1)−1＝
1
x+1+ln(x+1)＞0，
∴h（x）在[1，+∞）是单调递增函数，
所以当x=1时，h（x）min=3ln2-1，即t＜3ln2-1∈（0，2）
∴t=1．
（3）当x＞1时，由（1）知ln(1+x)＜
1
2x+ln2−
1
2，
由（2）知ln(1+x)＞
x+1
x+2
因为f(2k3)−3f(k−1)＝ln(1+
k3+1
k3)
所以当k≥2时，ln(1+
k3+1
k3)＜
1
2k3+ln2＜ln2+
1
2[
1
k(k−1)(k+1)]＜ln2+
1
4[
1
k(k−1)−
1
k(k+1)]，
∴
n
k＝1[f(2k3)−3f(k−1)]＜nln2+
5
8
另一方面，ln(1+
k3+1
k3)＞
2k3+1
3k3+1＞
2
3，
即
n
k＝1[f(2k3)−3f(k−1)]＞
2
3n
故：
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．