Question

设函数f（x）=2lnx-x 2 ．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．

∵f′（x）=2（

1

x -x）=

2(1+x)(1-x)

x ．

∵x＞0，则使f′（x）＞0的x的取值范围为（0，1），

故函数f（x）的单调递增区间为（0，1）．

（2）∵f（x）=2lnx-x ²．

∴f（x）+2x ²-5x-a=0⇔a=2lnx+x ²-5x．

令g（x）=2lnx+x ²-5x，

∴g′（x）=

2

x +2x-5=

(2x-1)(x-2)

x ．∵x＞0

∴g（x）在（0，

1

2 ），（2，+∞）上单调递增，在（

1

2 ，2）上单调递减．

∵g（

1

2 ）=-2ln2-

9

4 ，g（2）=2ln2-6，

∴x∈（0，

1

2 ）时，g（x）∈（-∞，-2ln2-

9

4 ）；

x∈（

1

2 ，2）时，g（x）∈（2ln2-6，-2ln2-

9

4 ）；x∈（2，+∞）时，g（x）∈（2ln2-6，+∞）．

∴当a∈（-2ln2-

9

4 ，+∞）∪（-∞，2ln2-6）时，方程有一解；

当a=-2ln2-

9

4 或a=2ln2-6时，方程有两解；

当a∈（2ln2-6，-2ln2-

9

4 ）时，方程有三解．