解题思路：（I）首先求出函数的导数，然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求函数y=f（x）-g8（x）的单调区间；（II）（ⅰ）由题意当x＞0时，f（x）≥gt（x），求出f（x）最小指，和gt（x）的最大值，从而求证；（ⅱ）由（i）得，gt（2）≥gt（2）对任意正实数t成立．即存在正实数x0=2，使得gx（2）≥gt（2）对任意正实数t，然后再证明x0的唯一性．
（I）y＝
x3
3−4x+
16
3．由y'=x2-4=0，得x=±2．
因为当x∈（-∞，-2）时，y'＞0，
当x∈（-2，2）时，y'＜0，
当x∈（2，+∞）时，y'＞0，
故所求函数的单调递增区间是（-∞，-2），（2，+∞），
单调递减区间是（-2，2）．
（II）证明：（i）方法一：
令h(x)＝f(x)−gt(x)＝
x3
3−t
2
3x+
2
3t(x＞0)，则h′(x)＝x2−t
2
3，
当t＞0时，由h'（x）=0，得x＝t
1
3，
当x∈(x
1
3，+∞)时，h'（x）＞0，
所以h（x）在（0，+∞）内的最小值是h(t
1
3)＝0．
故当x＞0时，f（x）≥gt（x）对任意正实数t成立．
方法二：
对任意固定的x＞0，令h(t)＝gt(x)＝t
2
3x−
2
3t(t＞0)，则h′(t)＝
2
3t−
1
3(x−t
1
3)，
由h'（t）=0，得t=x3．
当0＜t＜x3时，h'（t）＞0．
当t＞x3时，h'（t）＜0，
所以当t=x3时，h（t）取得最大值h(x3)＝
1
3x3．
因此当x＞0时，f（x）≥g（x）对任意正实数t成立．
（ii）方法一：f(2)＝
8
3＝gt(2)．
由（i）得，gt（2）≥gt（2）对任意正实数t成立．
即存在正实数x0=2，使得gx（2）≥gt（2）对任意正实数t成立．
下面证明x0的唯一性：
当x0≠2，x0＞0，t=8时，f(x0)＝
x03
3，gx(x0)＝4x0−
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3，
由（i）得，
x03
3＞4x0−
16
3，
再取t=x03，得gx03(x0)＝
x03
3，
所以gx(x0)＝4x0−
16
3＜
x03
3＝gx03(x0)，
即x0≠2时，不满足gx（x0）≥gt（x0）对任意t＞0都成立．
故有且仅有一个正实数x0=2，
使得gx（x0）0≥gt（x0）对任意正实数t成立．
方法二：对任意x0＞0，gx(x0)＝4x0−
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3，
因为gt（x0）关于t的最大值是
1
3x03，所以要使gx（x0）≥gt（x0）
对任意正实数成立的充分必要条件是：4x0−
16
3≥
1
3x03，
即（x0-2）2（x0+4）≤0，①
又因为x0＞0，不等式①成立的充分必要条件是x0=2，
所以有且仅有一个正实数x0=2，
使得gx（x0）≥gt（x0）对任意正实数t成立．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评： 本题主要考查函数的基本性质，导数的应用及不等式的证明等基础知识，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力，难度较大．