Question

（2012•武汉模拟）等比数列{an}是递增的等比数列，且满足a1a4=27，a2+a3=12．

Answer 1

（1）证明：∵数列{a_n}是等比数列，a₁a₄=27，a₂+a₃=12．

∴a₂a₃=27，a₂+a₃=12

∴a₂、a₃是一元二次方程x²-12x+27=0的两根

∵数列{a_n}是递增的等比数列，

∴a₂=3，a₃=9

∴数列{a_n}的公比q=3，a₁=3

∴a_n=3^n-1．

（2）设{b_n}的公差为d，由T₃=15，得b₁+b₂+b₃=15，可得b₂=5

故可设b₁=5-d，b₃=5+d，

∵a₁=3，a₂=3，a₃=9

∴（5-d+1）（5+d+9）=（5+3）²，

∴d=2或-10

∵等差数列{b_n}的各项为正，∴d＞0，

∴d=2

∴T_n=3n+

n(n−1)

2×2=n²+2n