如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=2AA1,∠BAA1=∠CAA1=60°,D,E分别为AB,A1C中点

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  • 解题思路:(1)连接AC1,由题意可得:E为A1C的中点,所以E为AC1的中点.连接BC1,可得DE∥BC1,进而根据线面平行的判定定理可得线面平行.

    (2)设AA1=a,则AB=2a.根据余弦定理可得:A1B2=3a2,所以A1B2+A1A2=AB2,可得A1A⊥A1B.所以B1B⊥A1B,同理可得B1B⊥A1C,再根据线面垂直的判定定理可得线面垂直.

    证明:(1)连接AC1,因为AA1C1C为平行四边形,

    所以AC1与A1C互相平分.

    因为E为A1C的中点,

    所以E为AC1的中点.

    连接BC1,因为D为AB的中点,

    所以DE∥BC1

    因为BC1⊂平面BB1C1C,DE⊄平面BB1C1C,

    所以DE∥平面BB1C1C.

    (2)设AA1=a,则AB=2a.

    因为∠BAA1=60°,

    所以A1B2=A1A2+AB2-2A1A•AB•cos∠A1AB=3a2

    所以A1B2+A1A2=AB2

    所以A1A⊥A1B.

    因为B1B∥A1A,所以B1B⊥A1B.

    同理B1B⊥A1C,

    因为A1B∩A1C=A1

    所以BB1⊥平面A1BC.

    点评:

    本题考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定.

    考点点评: 本题主要考查线面平行的判定定理与线面平行的判定定理,解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征以及有关的定理.