已知a、b都是正整数,试问关于X的方程x^2-abx+1/2(a+b)=0是否有两个整数解.若没有,给出证明.

1个回答

  • 你好,走着走着就笑了

    有,这两个整数解分别是1,2

    设a≤b,且方程的两个整数根为 ( x1≤x2 ),x1+x2=ab,x1*x2=1/2(a+b)

    算出x1*x2-x1-x2=ab-1/2a-1/2b:4(x1-1)(x2-1)+(2a-1)(2b-1)=5又因为a,b都是正整数,x1,x2均是正整数,于是,x1-1 ≥0, x2-1≥0,2a-1 ≥1, 2b-1≥1,所以(x1-1)(x2-1)=0(2a-1)(2b-1)=5或

    (x1-1)(x2-1)=1(2a-1)(2b-1)=1

    (1)当(x1-1)(x2-1)=0(2a-1)(2b-1)=5 时,由于a,b都是正整数,且 a≤b,可得

    a=1,b=3,

    此时,一元二次方程为X^2-3x+2=0 ,它的两个根为 1, 2.

    (2)当 (x1-1)(x2-1)=1(2a-1)(2b-1)=1

    时,可得

    a=1,b=1,

    此时,一元二次方程为 x^2-x+1=0,它无整数解.