数分：求证 (∑1到n)1/k - ln(n+1) - 知识问答

数分：求证 (∑1到n)1/k - ln(n+1) 小于等于 1/2*(∑1到n)1/k平方

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北师大04
证明：记f(x)=ln(1+x)-x+x²/2,(0 f''(x)=2/(1-x)³>0
∴f(x)在区间[0,1)上为凸函数,由凸函数性质得
对任意a1,a2,...,an∈[0,1),有
f((a1+a2+...+an)/n)≤[f(a1)+f(a2)+...+f(an)]/n
即f((Sn)/n)≤[∑f(ak)]/n
=>[(Sn)/n]/[1-(Sn)/n]≤[∑ak/(1-ak)]/n
=>nSn/(n-Sn)≤∑ak/(1-ak),(k从1到n求和)

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