√(x²+y²)+√(x²-4x+y²+2y+5)+√(x²-4x+y²+2y-5)
=√(x²+y²) +√[(x-2)²+(y+1)²]+√[(x-2)²+(y+1)²-10]
算术平方根有意义,(x-2)²+(y+1)²-10≥0
(x-2)²+(y+1)²≥10,即后两个根式至少取到√10+0=√10,在此前提下只要求x²+y²的最小值就可以了.
令x=2+cosa,y=sina-1
x²+y²=(cosa+2)²+(sina-1)²
=cos²a+4cosa+4+sin²a-2sina+1
=4cosa-2sina+6
=2√5cos(a+b)+6 其中tanb=1/2
当cos(a+b)=-1时,x²+y²有最小值6-2√5
此时算式有最小值6-2√5+√10