Question

已知X,Y,Z∈R,X+Y+Z=π,X²+Y²+Z²=π²/2,求证π2／3≥X≥0,π2／3≥Y≥0,π2／3≥Z≥0

Answer 1

X+Y+Z=π,

所以Y+Z=π-X.

X²+Y²+Z²=π²/2,

所以Y²+Z²=π²/2-X²,

所以YZ=1/2 [(Y+Z)^2-(Y²+Z²)]=1/2[(π-X)^2-(π²/2-X²)]

=X^2-πX+(π^2/4)

因为

Y+Z=π-X,

YZ=X^2-πX+(π^2/4),

所以YZ是方程t^2-(π-X)t+X^2-πX+(π^2/4)=0的两个根号,所以

令Δ=(π-X)^2-4(X^2-πX+(π^2/4))>=0,

得到0