Question

如图,已知三角形abc是圆o的内接三角形,ab=ac,点p是弧ab的中点,连接pa,pb,pc

Answer 1

（1）∵∠BPC=60°,

∴∠BAC=60°,

∵AB=AC,

∴△ABC为等边三角形,

∴∠ACB=∠ABC=60°,

∴∠APC=∠ABC=60°,

而点P是AB‍ 的中点,

∴∠ACP=12‍ ∠ACB=30°,

∴∠PAC=90°,

∴tan∠PCA= PAAC‍ =tan30°= √33‍ ,

∴AC= √3‍PA；

（2）过A点作AD⊥BC交BC于D,连结OP交AB于E,如图,

∵AB=AC,

∴AD平分BC,

∴点O在AD上,

连结OB,则∠BOD=∠BAC,

∵∠BPC=∠BAC,

∴sin∠BOD=sin∠BPC= 2425‍ =BDOB‍ ,

设OB=25x,则BD=24x,

∴OD=√OB2−BD‍2 =7x,

在Rt△ABD中,AD=25x+7x=32x,BD=24x,

∴AB= √AD2+BD‍2 =40x,

∵点P是 AB‍的中点,

∴OP垂直平分AB,

∴AE=12‍ AB=20x,∠AEP=∠AEO=90°,

在Rt△AEO中,OE= √AO2−AE‍2 =15x,

∴PE=OP﹣OD=25x﹣15x=10x,

在Rt△APE中,tan∠PAE= PEAE =10x20x =12‍ ,

即tan∠PAB的值为 12‍