Question

如图AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足为E,点D与点A关于点E对称,PB分别于线段CF、AF交于点P、M.若∠BAC=2

Answer 1

已知：如图,AF平分∠BAC,BC⊥AF,垂足为E,点D与点A关于点E对称,PB分别与线段CF,AF相交于P,M．

（1）求证：AB=CD；

（2）若∠BAC=2∠MPC,请你判断∠F与∠MCD的数量关系,并说明理由．

证明：（1）∵AF平分∠BAC,

∴∠CAD=∠DAB= 1/2∠BAC,

∵D与A关于E对称,

∴E为AD中点,

∵BC⊥AD,

∴BC为AD的中垂线,

∴AC=CD．

在Rt△ACE和Rt△ABE中

∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°,

∴∠CAD=∠DAB,

∴∠ACE=∠ABE,

∴AC=AB

∴AB=CD．

（2）∵∠BAC=2∠MPC,

又∵∠BAC=2∠CAD,

∴∠MPC=∠CAD,

∵AC=CD,

∴∠CAD=∠CDA,

∴∠MPC=∠CDA,

∴∠MPF=∠CDM,

∵AC=AB,AE⊥BC,

∴CE=BE

∴AM为BC的中垂线,

∴CM=BM

∵EM⊥BC,

∴EM平分∠CMB（等腰三角形三线合-）．

∴∠CME=∠BME

∵∠BME=∠PMF,

∴∠PMF=∠CME,

∴∠MCD=∠F