Question

已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）与x轴相切，若直线y=c与y=c+5分别交f（x）的图象于A，B，C，D四

Answer 1

解题思路：由函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的图象与x轴相切，可得：△=a²-4b=0，由四边形ABCD是一个以AB，CD为两底，高为5的梯形，S=25=[1/2]（AB+CD）×5，结合韦达定理，构造关于c的方程，解方程可得答案．

∵函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）的图象与x轴相切，

∴△=a²-4b=0，

设函数f（x）=x²+ax+b的图象与直线y=c交于A，B两点，

即A，B两点的横坐标为方程：x²+ax+b-c=0的两根，

故AB=|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1•x2=

a2-4b+4c=2

c，

设函数f（x）=x²+ax+b的图象与直线y=c+5交于C，D两点，

同时可得：CD=2

c+5，

此时四边形ABCD是一个以AB，CD为两底，高为5的梯形，

S=25=[1/2]（AB+CD）×5=（

c+

c+5）×5，

即

c+

c+5=5，

解得：c=4，

故答案为：4

点评：

本题考点： 二次函数的性质．

考点点评： 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，二次方程根与系数的关系，其中由韦达定理及四边形ABCD是一个以AB，CD为两底，高为5的梯形，构造关于c的方程是解答的关键．