在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6,P是△ABC内切圆M上的动点,求以PA,PB,PC为直径的三个圆的面

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  • 解题思路:由△ABC是边长为6,8,10的直角三角形,点P是此三角形内切圆上一动点,建立平面直角坐标系,求三个圆的面积之和的最小值问题,转化为点P到三角形三个定点的距离的平方和的最小值问题.

    建立坐标系 设A(8,0),B(0,6),C(0,0),P(x,y),△ABC内切圆半径为r.

    ∵三角形ABC面积 S=[1/2]AB×AC=[1/2](AB+AC+BC)r=24,解得r=2

    即内切圆圆心坐标为 (2,2)

    ∵P在内切圆上

    ∴(x-2)2+(y-2)2=4

    ∵P点到A,B,C距离的平方和为 d=x2+y2+(x-8)2+y2+x2+(y-6)2=3(x-2)2+3(y-2)2-4x+76=88-4x,

    显然 0≤x≤4 即72≤d≤88,

    ∴以PA,PB,PC为直径的三个圆面积之和最小值为18π.

    点评:

    本题考点: 圆方程的综合应用.

    考点点评: 本题考查解析法求最值,三个圆的面积之和的最小值问题,转化为点P到三角形三个定点的距离的平方和的最小值问题,体现了转化的思想方法.