Question

设实数p=3次根号4-3次根号6+3次根号9 求证:1

Answer 1

³√9 > ³√6

³√9 —³√6 = 一个正数 A

p=³√4-³√6+³√9

= ³√4+³√9 -³√6 = ³√4 +A

因为 ³√4 > 1

³√4 +A > 1 p>1

下面证明 p< 2 2=³√8

p< 2 等价于 ³√9 - ³√8< ³√6- ³√4

分子有理化

9-8=（ ³√9 - ³√8）(³√9²+³√8²+³√72)

6-4=( ³√6- ³√4)( ³√6²+ ³√4²+ ³√24)

³√9 - ³√8= 1/(³√9²+³√8²+³√72)=1/(³√81+³√64+³√72)

³√6- ³√4= 2/ ( ³√6²+ ³√4²+ ³√24)=2/( ³√36+ ³√16+ ³√24)

∵ (³√81+³√64+³√72) > ( ³√36+ ³√16+ ³√24)

∴ 1/(³√81+³√64+³√72)< 2/( ³√36+ ³√16+ ³√24)

³√9 - ³√8 < ³√6- ³√4

³√4-³√6+³√9