已知圆O1与圆O2都过点A,AO1是圆O2的切线,圆O1交O1O2于点B,连结AB并延长交圆O2于点C,连结O2C

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  • △∵∴⊥∥∠⊙≌∽°

    辅助线:延长BO1交O1于点D;

    (1)O2C⊥O1O2;

    ∵BD是直径

    ∴∠BAD=90°

    ∵AO1是圆O2的切线

    ∴O2A⊥O1A

    ∴∠O2AB=∠ADB(弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧对的圆周角)

    ∵O2A=O2C=半径

    ∴∠O2AB=∠O2CB

    ∴∠O2CB=∠ADB

    再加上一组对顶角相等;

    ∴△CBO2∽△DBA

    ∴CO2B=90,O2C⊥O1O2;

    (2)AB*BC=O2B*BD

    我们上面已经证明了△CBO2∽△DBA,根据对应边成比例则有:

    BC/O2B=DB/AB

    而DB=2BO1(直径与半径的关系)将其代入上式,并十字相乘变形,即可得出结论.

    (3)如果AB*BC=12,O2C=4,求AO1的长

    根据圆割线定理,在上图中有如下关系:

    O2B*O2D=O2A*O2A

    O2D=O2B+BD代入上式后:

    O2B*(O2B+BD)=O2A*O2A,

    变形打开括号后:O2B*O2B+O2B*BD=O2A*O2A,

    上列式子中,已知O2A=O2C=4;O2B*BD=2O2B*BO1=AB*BC=12;仅有O2B是未知,代入即可求得O2B

    O2B*O2B+12=16

    解得O2B=2

    将O2B=2再代入O2B*BD=2O2B*BO1=AB*BC=12中,得出BD=6,则O1A=3