反证：若结论不成立,则存在 自然数a>0,及fn的一个子序列 使得 此子序列的积分收敛于3a.
为书写方便,不妨设 fn 的积分收敛于3a.
因其收敛于3a,于是存在N>2,使得 n>N 时,积分（从0到1）fn dx > 2a
于是 积分（从0到1）fn dx = 积分（fna) fn dx
a) 1 dx
==> n>N 时,积分（fn>a) dx > a
(fn>a) = fn^(-1)(fn>a) 是开集合,于是是可列个无交开区间的并集,其区间长度和必须 >=a
设 An = fi^(-1)(fi>a) 对一切 i>=n 的并集.于是An 是开集,其长度 >=a.
同时 An 包含 A(n+1) 包含A(n+2).
在An中,可取闭集Bn,使得Bn为有限个无交闭区间,其区间长度和 > a - a/2^n
于是 Bn交B(n+1)交.是闭集,且非空,因为 每次去掉的长度 是 a/2^i,i=n,n+1,.
其长度和