已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C:y=x2+1相切于第一象限内的点P.

1个回答

  • 解题思路:(I)设切点P的坐标,根据双曲线E的渐近线与抛物线C相切,及P在抛物线C:y=x2+1上,即可求点P的坐标及双曲线E的离心率;

    (II)利用点到直线的距离公式,求得△PAB的高,表示出△PAB的面积,根据直线l2与抛物线C至多有一个交点,确定a的范围,即可求△PAB面积的最大值.

    (I)设切点P的坐标为(x0,

    x20+1),则切线的斜率为(x2+1)′|x=x0=2x0…(1分)

    因为双曲线E的渐近线y=

    b

    ax与抛物线C相切,所以2x0=

    b

    a①

    又因为

    x20+1=

    b

    ax0②

    由①、②消去x0得:(

    b

    2a)2+1=

    b2

    2a2,即b2=4a2,…(3分)

    又c2=a2+b2,所以c2-a2=4a2,c2=5a2

    即e2=

    c2

    a2=5,e=

    5.…(4分)

    由①、②还可得

    x20+1=2

    x20,即x0=±1,

    又P在第一象限,从而切点P的坐标为(1,2)…%分

    (II)由(I)得l1的方程为y=2x,点F的坐标为(

    5a,0),双曲线E的方程为4x2-y2=4a2

    因为l1⊥l2,所以l2的方程为y=−

    1

    2(x−

    5a).

    y=−

    1

    2(x−

    5a)

    4x2−y2=4a2消去y得:15x2+2

    5ax−21a2=0.

    从而xA+xB=−

    2

    5

    15a,xAxB=−

    7

    5a2.

    故|AB|=

    1+(−

    1

    2)2•

    (xA+xB)2−4xAxB=

    5

    4•

    (−

    2

    5

    15a)2+

    28

    5a2=[8/3a.…(7分)

    由点到直线的距离公式得△PAB的高h=|a−

    5|.…(8分)

    又因为直线l2与抛物线C至多有一个交点,

    由方程组

    y=x2+1

    y=−

    1

    2(x−

    5a)]消去y得2x2+x+2−

    5a=0,故△=12−4×2×(2−

    5a)≤0,

    即0<a≤

    3

    5

    8…(9分)

    所以△PAB的面积S=

    4

    3a|a−

    5|=

    4

    3a(

    5−a),(0<a≤

    3

    5

    8).

    S=−

    4

    3(a2−

    5a)=−

    4

    3[(a−

    5

    2)2−

    5

    4]≤−

    4

    3[(

    3

    5

    8−

    5

    2)2−

    5

    4]=

    25

    16.…(11分)

    ∴当a=

    3

    5

    8时,Smax=

    25

    16.…(12分)

    点评:

    本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;双曲线的简单性质.

    考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查双曲线的几何性质,考查直线与双曲线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.