解题思路:(I)设切点P的坐标,根据双曲线E的渐近线与抛物线C相切,及P在抛物线C:y=x2+1上,即可求点P的坐标及双曲线E的离心率;
(II)利用点到直线的距离公式,求得△PAB的高,表示出△PAB的面积,根据直线l2与抛物线C至多有一个交点,确定a的范围,即可求△PAB面积的最大值.
(I)设切点P的坐标为(x0,
x20+1),则切线的斜率为(x2+1)′|x=x0=2x0…(1分)
因为双曲线E的渐近线y=
b
ax与抛物线C相切,所以2x0=
b
a①
又因为
x20+1=
b
ax0②
由①、②消去x0得:(
b
2a)2+1=
b2
2a2,即b2=4a2,…(3分)
又c2=a2+b2,所以c2-a2=4a2,c2=5a2,
即e2=
c2
a2=5,e=
5.…(4分)
由①、②还可得
x20+1=2
x20,即x0=±1,
又P在第一象限,从而切点P的坐标为(1,2)…%分
(II)由(I)得l1的方程为y=2x,点F的坐标为(
5a,0),双曲线E的方程为4x2-y2=4a2.
因为l1⊥l2,所以l2的方程为y=−
1
2(x−
5a).
由
y=−
1
2(x−
5a)
4x2−y2=4a2消去y得:15x2+2
5ax−21a2=0.
从而xA+xB=−
2
5
15a,xAxB=−
7
5a2.
故|AB|=
1+(−
1
2)2•
(xA+xB)2−4xAxB=
5
4•
(−
2
5
15a)2+
28
5a2=[8/3a.…(7分)
由点到直线的距离公式得△PAB的高h=|a−
5|.…(8分)
又因为直线l2与抛物线C至多有一个交点,
由方程组
y=x2+1
y=−
1
2(x−
5a)]消去y得2x2+x+2−
5a=0,故△=12−4×2×(2−
5a)≤0,
即0<a≤
3
5
8…(9分)
所以△PAB的面积S=
4
3a|a−
5|=
4
3a(
5−a),(0<a≤
3
5
8).
S=−
4
3(a2−
5a)=−
4
3[(a−
5
2)2−
5
4]≤−
4
3[(
3
5
8−
5
2)2−
5
4]=
25
16.…(11分)
∴当a=
3
5
8时,Smax=
25
16.…(12分)
点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;双曲线的简单性质.
考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查双曲线的几何性质,考查直线与双曲线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.