Question

已知函数f（x）=（x2+2x）e-x，x∈R．

Answer 1

解题思路：（1）利用导数即可求得函数的单调区间；

（2）由f′（x）＞1得（2-x²）e^-x＞1，即e^x＜2-x²，等价于x²+x-1＜x+1-e^x，

先证：x+1≤e^x，令g（x）=e^x-（x+1），利用导数即可证得g（x）≥g（0）=0，即x+1≤e^x，变形即可证得结论成立．

（1）∵f（x）=（x²+2x）e^-x，x∈R，

∴f′（x）=（2x+2）e^-x-（x²+2x）e^-x=（2-x²）e^-x，

∴由f′（x）＞0得-

2＜x＜

2，故f（x）在（-

2，

2）上是增函数，

由f′（x）＜0得x＜-

2或x＞

2，故f（x）在（-∞，-

2），（

2，+∞）上是减函数．

（2）由f′（x）＞1得（2-x²）e^-x＞1，即e^x＜2-x²，等价于x²+x-1＜x+1-e^x，

先证：x+1≤e^x，令g（x）=e^x-（x+1），有g′（x）=e^x-1，

当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增；

当x＜0时，g′（x）＜0，g（x）在（-∞，0）上单调递减；

∴g（x）≥g（0）=0，即x+1≤e^x，

∴x²+x-1＜x+1-e^x≤0，

∴x²+x-1＜0，由此得x²+2x＜x+1，

∴x²+2x＜x+1≤e^x，

∴（x²+2x）e^-x＜1，

即f（x）＜1．

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；导数的运算．

考点点评： 本题主要考查利用导数判断函数的单调性及求函数最值问题，以及利用导数证明不等式成立问题，注意问题的转化划归，属中档题．