∵函数f(x)=x(x-9) 2=x 3-18x 2+81x
∴f′(x)=3x 2-36x+81=3(x-9)(x-3),x∈[0,+∞),
∴当x∈[0,3]时f′(x)≥0,则函数在[0,3]上单调递增
当x∈[3,9]时f′(x)0,则函数在[3,9]上单调递减
当x∈(9,+∞)时f′(x)>0,则函数在(9,+∞)上单调递增
∴当x=3时,函数取极大值108,当x=9时,函数取极小值0.
(1)当a,b∈[0,3]时,f(x)在[0,3]上为增函数,
∴
f(a)=a(a-9) 2 =ka
f(b)=b(b-9) 2 =kb
即在[0,3]上存在两个不等的实数使得(x-9) 2=k
而y=(x-9) 2在[0,3]上单调递减,故不存在满足条件的k值;
(2)当a,b∈[3,9]时,f(x)在[3,9]上为减函数,
∴
f(a)=a(a-9) 2 =kb
f(b)=b(b-9) 2 =ka
即a=b,此时实数a,b的值不存在.
(3)当a,b∈(9,+∞)时,f(x)在(9,+∞)上为增函数,
∴
f(a)=a(a-9) 2 =ka
f(b)=b(b-9) 2 =kb
即在(9,+∞)上存在两个不等的实数使得(x-9) 2=k
而y=(x-9) 2在(9,+∞)上单调递增,故不存在满足条件的k值;
(4)当a∈[0,3),b∈[3,9]时,3∈[a,b],f(3)=108=kb
∴k=
108
b ∈[12,36]
(5)当a∈(3,9),b∈[9,+∞)时,9∈[a,b],f(9)=0=ka
根据题意可知k>0
∴a=0,不可能成立
(6)令f(x)=x(x-9) 2=108解得x=3或12
令f(x)=x(x-9) 2=0解得x=0或9
①当a∈[0,3),b∈[9,12)时,
9∈[a,b],f(9)=0=ka,3∈[a,b],f(3)=108=kb
根据题意可知k>0
∴a=0,k=
108
b ∈[9,12]
②当a∈[0,3),b∈[12,+∞)时,
9∈[a,b],f(9)=0=ka,
根据题意可知k>0
∴a=0,
且f(b)=b(b-9) 2=kb
k=(b-9) 2≥9
综上所述:k∈[9,+∞)
故最小的k值为9
故选B.