（1）∠APC=∠ABP+∠BAP可得：∠BAP=∠CPD 从而说明 △ABP∽△PCD
可得：
（2）∵∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B
∴△AMF∽△BGM．
当∠A＝∠B＝45°时，可得AC⊥BC且AC＝BC
∵M为AB的中点，∴AM＝BM＝
,
又∵AMF∽△BGM，∴
∴
又∵
，
∴
（1）本题要通过证△ABP和△PCD相似来解．已知∠B=∠APD=∠C，那么可得出它们的补角都相等，进而可求出∠BAP=∠DPC，∠BPA=∠PDC．由此可证得两三角形相似，即可得出所求的结论．
（2）由∠AFM＝∠DME＋∠E＝∠A＋∠E＝∠BMG，∠A＝∠B可得△AMF∽△BGM，再利用直角三角形ABC可得到AM、BM、AC、BC的长，在△AMF∽△BGM中利用对应边成比例可得BG的长，在直角三角形CFG中利用勾股定理即可求得FG的长。